高等数学(上) 不定积分 总结

高等数学上册(微积分)必背公式总结 - 知乎 (zhihu.com) 导数: $$ \begin{align} &[\cos(\omega x+\varphi)]^{(n)}=\omega^n\cos(\omega x+\frac{n\pi}{2}+\varphi)\\ &[\sin(\omega x+\varphi)]^{(n)}=\omega^n\sin(\omega x+\frac{n\pi}{2}+\varphi)\\ \end{align} $$ 重难点公式: $$ \begin{align} &\int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C\\ &\int\frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|+C\\ &\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C\\ &\int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C\\ &\int{tan\ x}dx=-ln|cos\ x|+C\\ &\int{cot\ x}dx=ln|sin\ x|+C\\ &\int{csc\ x}dx=ln|csc\ x-cot\ x|+C\\ &\int{sec\ x}dx=ln|sec\ x+tan\ x|+C\\ &\int{sec^2\ x}dx=tan\ x+C\\ &\int{csc^2\ x}dx=-cot\ x+C\\ &\int{sec\ x*tan\ x}dx=sec\ x+C\\ &\int{csc\ x*cot\ x}dx=-csc\ x+C\\ \end{align} $$ 凑系数,拆项: $$ \int{\frac{x}{(2x+3)^2}}dx=\frac{1}{2}\int{\frac{2x+3-3}{(2x+3)^2}}dx=\frac{1}{2}\int{\frac{2x+3}{(2x+3)^2}}dx-\frac{1}{2}\int\frac{3}{(2x+3)^2}dx\ … $$ 分子包含多项的,直接无法求解可以拆项求。 常见的配凑: $$ \begin{align} &xe^x:\\ &\int\frac{1+x}{x(xe^x+1)}dx=\int\frac{(1+x)e^x}{xe^x(xe^x+1)}dx=\int\frac{1}{xe^x(xe^x+1)}d(xe^x)\overset{t=xe^x}=\int\frac{1}{t(t+1)}dt\\ &xlnx:\\ &\int\frac{(1+lnx)dx}{1+x^2ln^2x}=\int\frac{1}{1+(xlnx)^2}d(xlnx)\\ &\frac{1}{\sqrt{x}}:\\ &\int\frac{1}{\sqrt{x(x+4)}}dx=2\int\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+4}}dx=2\int\frac{1}{\sqrt{4+\sqrt{x}^2}}d{\sqrt{x}}\\ &e^x:\\ &\int f(e^x){\rm dx}=\int\frac{f(e^x)}{e^x}{\rm de^x}=\int\frac{f(t)}{t}{\rm dt} \end{align} $$...

February 16, 2022 · zeroy